μετασχηματισμός (συνόλου)

Ο όρος χρησιμοποιείται στα μαθηματικά ως συνώνυμος του όρου αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση (ένα προς ένα απεικόνιση) ενός συνόλου στον εαυτό του. Έστω I είναι ένα σύνολο (διαφορετικό από το κενό) και t ένας μετασχηματισμός του Ι. Τότε σε κάθε στοιχείο α του I αντιστοιχεί μέσω του t ακριβώς ένα στοιχείο t (α) = α’ του I και κάθε στοιχείο α’ του I είναι το, μέσω του t, αντίστοιχο ενός ακριβώς στοιχείου του I. Έστω, ειδικά, ότι το I είναι πεπερασμένο και ότι το πλήθος των στοιχείων του είναι ν (ν = 1,2,3...), ας τα συμβολίσουμε δε (για απλότητα) με 1,2,3,..., ν. Επομένως είναι I ={ 1,2,3,..., ν }. Ένας μ. του I ονομάζεται, ειδικότερα, μετάθεση των ν στοιχείων του I. Ένας τέτοιος μ. (μετάθεση) μπορεί να συμβολιστεί έτσι: (1 2 3…ν), i₁ i₂ i₃. i_ν όπου τα σύμβολα i₁, i₂, i₃, …,i_ν δηλώνουν τα σύμβολα 1,2,3,..., ν σε διαφορετική διάταξη. Αν, παραδείγματος χάριν, ν = 4 μια μετάθεση του συνόλου {1, 2, 3, 4} είναι η t₁= (1 2 3 4) ..., μια άλλη η t₂= (1 2 3 4). Ένας ειδικός μ. ενός συνόλου I είναι ο ταυτοτικός μ. (η ταυτότητα). Σε αυτόν κάθε στοιχείο του I μετασχηματίζεται στον εαυτό του. Αν t₁, t₂ είναι δύο μ. ενός συνόλου I, τότε ορίζεται από αυτούς ένας μ.του I που ονομάζεται σύνθεση του t₁ με τον t₂ και συμβολίζεται με t₁ ο t₂. Σε αυτόν τον μ. κάθε στοιχείο α του I μετασχηματίζεται στο στοιχείο του I, που προκύπτει ως εξής: παίρνουμε την εικόνα του α με τον t₂, δηλαδή το στοιχείο t₂(α) λαμβάνοντας και από αυτό το στοιχείο την εικόνα του με τον t_l, δηλαδή το στοιχείο t₁(t₂(α)). Έτσι για τους μ. - μεταθέσεις t₁,t₂ που δώσαμε ως παραδείγματα στα προηγούμενα, είναι: t₁ ο t₂= (1 2 3 4) 4 3 2 1 Αν θεωρήσουμε το σύνολο, έστω Τ, όλων των μ. του I, τότε η σύνθεση, όπως την ορίσαμε πριν από λίγο (με σύμβολο της το ο) αποτελεί μία πράξη μέσα στο I και στο Τ, εφοδιασμένο με αυτήν την πράξη. Πρόκειται για μία ομάδα, μη μεταθετική, αφού δεν ισχύει η μεταθετική ιδιότητα, δηλαδή t₁ ο t₂ = t₂ ο t₁ και αυτό επειδή: 1) υπάρχει μέσα στο Τ ένα και μόνο στοιχείο ουδέτερο για την πράξη ο, το οποίο είναι η ταυτότητα, έστω t₀ και 2) για κάθε στοιχείο του Τ υπάρχει ένα και μόνο αντίστροφό του, δηλαδή για κάθε μ. του I, έστω t, υπάρχει ένας και μόνο επίσης μ. του I, που συμβολίζεται με t^-1 και που είναι τέτοιος, ώστε να ισχύει: t ο t^-1 = t₀. Στη γεωμετρία κατέχουν ιδιαίτερο ρόλο οι μ. της ευθείας (στον εαυτό της), του επιπέδου (στον εαυτό του), του χώρου (στον εαυτό του) θεωρούνται όμως και, γενικότερα, μ. μιας ευθείας σε άλλη, ενός επιπέδου σε άλλο κλπ., δηλαδή αμφιμονοσήμαντες απεικονίσεις μεταξύ δύο ευθειών, δύο επιπέδων κλπ. Ακόμα ιδιαίτερο ρόλο διαδραματίζουν οι λεγόμενοι προβολικοί μ. Ένας τέτοιος μ. ονομάζεται προβολικότητα και χαρακτηρίζεται από το ότι σύμφωνα με αυτόν διατηρείται αμετάβλητος ο διπλός λόγος. Ειδικά οι προβολικοί μ. του επιπέδου, που διατηρούν μια ευθεία του σταθερή (είτε του χώρου, που διατηρούν ένα επίπεδο σταθερό) ονομάζονται ομοπαραλληλικοί. Το σύνολό τους αποτελεί μια υποομάδα της ομάδας όλων των προβολικών μ. του επιπέδου (είτε του χώρου). Ένας μ. του επιπέδου είτε του χώρου, που είναι όχι μόνο αμφιμονοσήμαντος (από τον ορισμό του), αλλά και αμφισυνεχής, ονομάζεται τοπολογικός μ. (ομοιομορφισμός). Οι μ. στη γεωμετρία διακρίνονται επίσης σε γραμμικούς, αναλυτικούς και ομοιογραφικούς. Οι γραμμικοί μ. χαρακτηρίζονται από το ότι t (λx + μy) = λt (x) + μt (y) όπου λ, μ πραγματικοί αριθμοί και x, y διανύσματα του επιπέδου, του χώρου κλπ. Οι αναλυτικοί χαρακτηρίζονται από το ότι οι συντεταγμένες του μετασχηματισμένου σημείου εκφράζονται ως αναλυτικές συναρτήσεις των συντεταγμένων του προτύπου σημείου. Οι ομογραφικοί από το ότι η εικόνα t (x) του σημείου x, του χώρου που εργαζόμαστε (π.χ. του επιπέδου), εκφράζεται από τον τύπο: αx + β / γx+ δ όπου α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί και αδ – βγ ≠ 0.